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Differenzierung durch Komplexität - Heterogenität im Mathematikunterricht begegnen

Mit der Implementierung der Bildungsstandards in Österreich wurde auch die Forderung nach kompetenzorientiertem Unterricht laut – einem Unterricht, der neben inhaltlichen auch methodische, soziale oder kommunikative Kompetenzen fördert. Gleichzeitig gilt es, den individuellen Bedürfnissen von SchülerInnen in sehr heterogenen Lerngruppen gerecht zu werden. Für den Mathematikunterricht wurden in den letzten Jahren Modelle und Aufgabenformate entwickelt, die einerseits Differenzierung ganz „natürlich“ zulassen und dabei die Kompetenzentwicklung unterstützen.

Heterogenität als Normalität

Die Leistungsheterogenität in Schulklassen und Lerngruppen ist eine mittlerweile unumstrittene Tatsache. Largo (2009) zeigt in seinen Langzeitstudien zur kindlichen Entwicklung eindrucksvoll, wie stark Vielfalt ausgeprägt sein kann: So ergab etwa eine Untersuchung 20 Siebenjähriger ein Entwicklungsalter von 5.5 bis 8.5 Jahren (vgl. Largo 2009: 32). Um diese interindividuelle Heterogenität auszugleichen, sieht unser Schulsystem verschiedenste Mechanismen vor. Zurückstellung, Klassenwiederholung oder der Unterricht in Leistungsgruppen sollen einer Homogenisierung dienen, wie Tillmann (2004: 6) in seinem Beitrag „Schule jagt Fiktion – Die homogene Lerngruppe“ ausführt. All diese Maßnahmen ändern jedoch nichts an der Tatsache, dass sich nach wie vor in allen Klassen SchülerInnen mit unterschiedlichsten Lernvoraussetzungen, Vorkenntnissen, Motivationslagen und Interessen finden, die sich trotz dieser Maßnahmen nicht homogenisieren lassen. Der Umgang mit Heterogenität stellt demnach eine große Herausforderung – nicht nur an den Mathematikunterricht – dar.

Differenzierung als Notwendigkeit im Umgang mit Heterogenität

Während das Schulsystem dieser Heterogenität vor allem mit äußerer Differenzierung (wie oben ausgeführt) begegnet, versuchen Lehrkräfte den unterschiedlichen Lernvoraussetzungen durch innere Differenzierung gerecht zu werden. Dies geschieht häufig durch Organisationsformen von offenem Unterricht, wie etwa der Wochenplan- oder Werkstattarbeit. Peschel (2009: 9ff) sieht in diesen Unterrichtsformen Kriterien wie etwa Eigenverantwortung oder auch Differenzierung jedoch nur bedingt umgesetzt. Er verwendet hier die Bezeichnung „geöffneter Unterricht“ als Vorstufe für offenen Unterricht. Die Öffnung bezieht sich dabei auf den nach seinem Erachten weniger wichtigen Aspekt der Unterrichtsorganisation (vgl. Peschel 2009:88). Die Differenzierung wird „von oben“ (vgl. Peschel 2004: 21ff) inszeniert, indem LehrerInnen den Lehrstoff in von ihnen festgelegten „Portionen“ bzw. Schwierigkeitsgraden und in Form von unterschiedlichen Arbeitsmaterialien und –mitteln anbieten. Peschel (2004: 21ff) bezweifelt jedoch, dass den unterschiedlichen Bedürfnissen und Lernvoraussetzungen von SchülerInnen durch diese Differenzierung von oben entsprochen werden kann. Er sieht hier nicht schülerzentrierten und damit differenzierten Unterricht realisiert, sondern vielmehr „materialzentrierten Unterricht“ (vgl. Peschel 2009: 9ff).

Materialeinsatz im differenzierten (Mathematik-)Unterricht

Dieser sehr kritischen Ansicht können wir uns teilweise anschließen, da auch wir in der Auseinandersetzung mit der schulischen Praxis immer wieder feststellen, dass das Unterrichtsmaterial einen zentralen Stellenwert bei der Planung und Durchführung von Unterricht einnimmt. Während vielerorts durchdachtes und gut strukturiertes Material zielgerichtet eingesetzt wird, beobachten wir ebenso, dass nicht die zu erreichenden Kompetenzen oder Lernziele sondern vorhandenes Material den Ausgangspunkt für die Unterrichtsplanung bilden. So werden Stunden „rund um Material“ geplant oder Material wird (etwa aus Internetquellen) in großer Anzahl und häufig unreflektiert übernommen.
Dabei wird zumeist außer Acht gelassen, dass die Materialien und Veranschaulichungen im Mathematikunterricht dem Entwickeln und Festigen von Zahl- und Operationsverständnis dienen sollen. Ziel ist es, dass sich die Kinder, ausgehend von konkreten Handlungen an Materialien letztlich von diesen lösen und die Aufgaben mit guten Strategien im Kopf bewältigen können (vgl. Schipper 2009: 288).
Materialien sollen den Kindern also als Hilfe beim Aufbau von leistungsfähigen mentalen Vorstellungen dienen und nicht nur dem Lösen einer bestimmten Aufgabenstellung. Dafür ist es unter anderem notwendig, dass die an den Materialien vollzogenen Handlungen strukturell mit den angestrebten Operationen übereinstimmen und dass im Material an sich die grundlegenden mathematischen Strukturen repräsentiert sind (vgl. Schipper: 302).
In den angeführten Unterrichtsformen und im materialgeleiteten Unterricht beziehen sich Differenzierungsmaßnahmen also selten auf Bedürfnisse und Voraussetzungen von SchülerInnen, sondern vielmehr auf die Menge der zu bearbeitenden Aufträge.
Auf inhaltlicher Ebene findet die Differenzierung häufig durch die Reduktion von Komplexität und damit einem reduzierten Lernangebot besonders für langsame oder schwache LernerInnen statt. Bezogen auf mathematische Inhalte wird eine solche Reduktion zum Teil sehr kritisch bewertet, da die Gefahr besteht, dass damit ein inhaltlicher Verlust einhergeht (vgl. Krauthausen, Scherer 2010: 5).

„Natürliche“ Differenzierung im Mathematikunterricht

Die bisher gängigen Formen innerer Differenzierung werden v.a. in Bezug auf den Mathematikunterricht nun um das Modell der „natürlichen Differenzierung“ erweitert (vgl. Krauthausen, Scherer 2010). Mathematikunterricht, der diesem Prinzip folgt, soll einerseits mathematisch angemessene Komplexität erhalten und gleichzeitig Differenzierung ermöglichen. Die Differenzierung findet dabei „von unten“ – also in der Art und Weise, in der SchülerInnen eine Aufgabe oder Lernumgebung bearbeiten, in der Wahl individueller Lernwege und Bearbeitungsstrategien - statt.
Lernumgebungen, die zum Ziel haben alle Kinder zu fördern und nach dem Prinzip der natürlichen Differenzierung aufgebaut sind, unterscheiden sich demnach wesentlich von Aufgaben, die nach der inneren Differenzierung vorgehen: Alle SchülerInnen arbeiten an einem Arbeitsauftrag, der Wahlmöglichkeiten bietet und so die natürliche Differenzierung ermöglicht (vgl. Wittmann, Müller 2004: 15). Scherer und Moser Opitz (2010: 57f) beschreiben solche Aufgaben als besonders geeignet für den fördernden Mathematikunterricht.
Aufgabenstellungen, die diese natürliche Differenzierung ermöglichen sollen, müssen auch gewissen innermathematischen oder sachbezogenen Kriterien entsprechen. So haben Hirt und Wälti den auf Kompetenzerwerb und die mathematische Tätigkeit ausgerichteten Lernumgebungen folgende Kriterien zu Grunde gelegt:

  • „Mathematische Substanz mit sichtbar werdenden Strukturen und Mustern (fachliche Rahmung)
  • Orientierung an zentralen Inhalten
  • Hohes kognitives Aktivierungspotential
  • Orientierung der Tätigkeit an mathematischen und inhaltlichen Prozessen
  • Initiierung von Eigentätigkeit aller Lernenden
  • Förderung individueller Denk- und Lernwege sowie eigener Darstellungsformen
  • Zugänglichkeit für alle: Ermöglichen mathematischer Tätigkeit auch auf elementarer Ebene durch die Möglichkeit an Vorkenntnisse anknüpfen zu können
  • Herausforderungen für schnell Lernende mit anspruchsvollen Aufgaben
  • Ermöglichen des sozialen Austauschs und des Kommunizierens über Mathematik“ (Hirt, Wälti 2008: 14)

Bei Ulm (2008) wird deutlich, dass auch solche Aufgaben gut geeignet sind, die eine „Modellierung außermathematischer Situation erfordern, um die Bedeutung der Mathematik für ein Verständnis der „Welt“ erlebbar zu machen“ (vgl. Ulm 2008: 8).

Ein Unterrichtsbeispiel aus der Praxis

Nachfolgende Aufgabenstellung ist dem Buch „Gute Aufgaben Mathematik – Heterogenität nutzen“ (Ulm 2008: 37ff) entnommen und wurde im Schuljahr 2009/10 im Rahmen der unverbindlichen Übung „Mathematik-Begabungsförderung“ an einer Salzburger Volksschule durchgeführt.


Thema und Intention:
Entsprechend den Kompetenzbereichen der österreichischen Bildungsstandards lassen sich diesem Beispiel alle vier allgemeinen Kompetenzbereiche zuordnen. In der Erarbeitungsphase kommen vor allem das Modellieren (Entnahme relevanter Information aus einer Sachsituation, Finden passender Lösungswege), das Operieren (Durchführung arithmetischer Operationen und Verfahren) und das Problemlösen (Bezug zu einem innermathemtischen Problem, Anwendung geeigneter Lösungsaktivitäten und zielführender Denkstrategien) zum Tragen. In der Phase der Partnerarbeit und der Präsentation spielt darüber hinaus auch das Kommunizieren (Beschreibung und Protokollierung der Vorgehensweise, Vergleich und Begründung von Lösungswegen) eine große Rolle (vgl. Bifie 2009: 17). Bei Ulm (2008) wird zudem besonders der Aspekt des Problemlösens hervorgehoben: Problemorientierte Aufgaben zeichnen sich dadurch aus, dass den Kindern zunächst kein Standardverfahren zur Bewältigung bekannt ist. Ob eine Aufgabenstellung zu einem Problem wird, hängt also stark vom Vorwissen der SchülerInnen ab, welches im Lösungsprozess neu strukturiert, geordnet und kombiniert werden muss (vgl. Ulm 2008: 37).

Durchführung:
Ausgehend von der dargestellten Aufgabe versuchten 18 Kinder (12 Buben, 4 Mädchen) einer sehr heterogenen Lerngruppe (2. bis 4. Schulstufe) diese offene Knobelaufgabe zu lösen. Um den Kindern eine eigenständige Auseinandersetzung mit der Problemstellung und ein Anknüpfen an das individuelle Vorwissen zu ermöglichen, arbeiteten die SchülerInnen in der ersten Phase alleine. Bereits hier zeigten sich sehr unterschiedliche Denk- und Lösungsansätze. Auch in ihrer Herangehensweise unterschieden sich die SchülerInnen stark voneinander. Die Art der Aufgabenstellung, die sich deutlich von den sonst üblichen Aufgaben im Unterricht unterschied, verunsicherte die SchülerInnen anfangs, vor allem hinsichtlich der Tatsache, dass es nicht den einen richtigen und zuvor erlernten Lösungsweg zu geben schien.
In einer zweiten Phase tauschten sich die Kinder mit einem bzw. einer selbst gewählten PartnerIn aus und arbeiteten gemeinsam am Lösungsweg weiter. Dabei wurden unterschiedliche Strategien sichtbar.
Exemplarische Bearbeitungsansätze:
Zwei Schüler der zweiten Klasse näherten sich der Problemstellung zeichnerisch und malten auf ein Plakat immer wieder die drei unterschiedlichen Fahrzeuge, bis die geforderte Anzahl der Räder (52) erreicht war. Allerdings mussten sie dazu öfter nachzählen, was zu einigen Fehlern führte.
Ganz anders gingen zwei Schüler der dritten Klasse vor, die sich zunächst ihre unterschiedlichen Lösungsansätze gegenseitig erklärten und offensichtlich in der Lage waren, den Denk- und Lösungsweg des Partners nachzuvollziehen. In den von ihnen gewählten Lösungswegen multiplizierten sie die Anzahl der Autoreifen (4) mit einer angenommenen Größe und teilten den Rest auf die beiden anderen Fahrzeugtypen auf.
Im Gegensatz dazu stand der Lösungsansatz zweier Schüler der vierten Klasse: Diese hatten offenbar zuvor den Algorithmus der schriftlichen Division gelernt und waren sich dahingehend einig, dass bei dieser Aufgabenstellung die Division anzuwenden sei. (Wir interpretieren das als Ergebnis eines schulischen Lernprozesses, in dem Sach- und Textaufgaben häufig in engem Zusammenhang mit direkt davor Erlerntem bearbeitet werden.) Sie zählten zunächst die Anzahl der Räder aller Fahrzeugtypen zusammen (7) und dividierten die Gesamtzahl der Räder (52) durch 7. Diese Division mit Rest stellte für die Kinder kein Problem dar, jedoch waren sie nicht in der Lage, den Zusammenhang zur Aufgabe herzustellen. So konnten sie auch nach mehrmaliger Anregung ihr Ergebnis nicht interpretieren und waren sich nicht im Klaren darüber, was der Rest in Bezug auf die Aufgabe zu bedeuten hatte.
In einer dritten Phase stellten die SchülerInnen ihre Arbeitsergebnisse auf einem Plakat dar und präsentierten dieses der Gruppe. Hier wurden erste Diskussionen und Gespräche über die unterschiedlichen Lösungswege angeregt. Besonders jene Kinder, die selbst Lösungswege gefunden hatten, waren sichtbar an denen der anderen SchülerInnen interessiert. Auch bei den beiden Viertklässlern stellten sich in dieser Phase „Aha-Erlebnisse“ ein.

Resümee

Gute Aufgaben und Lernumgebungen eigenen sich dazu, Kindern in heterogenen Lerngruppen Mathematik auf „ihrem Niveau“ zu ermöglichen. Ausgehend von ihren Vorerfahrungen nähern sie sich den Aufgabenstellungen auf ganz individuelle Art und Weise. Lernumgebungen und gute Aufgaben sollten daher als Lernanlässe gemeinsamen Mathematiktreibens andere Unterrichtsformen ergänzen. Um die entsprechenden allgemeinen mathematischen Kompetenzen aufbauen zu können, ist es notwendig, dass SchülerInnen die Möglichkeiten bekommen, auch im Bereich der Mathematik auf unterschiedliche Art und Weise tätig zu sein. Zudem wird es entscheidend sein, dass LehrerInnen zunehmend unterschiedliche Denk- und Lösungsansätze nicht nur zulassen sondern diese auch fördern und unterstützen.

 

Literaturverzeichnis:

Bifie (Hg.) (2009): Praxishandbuch für „Mathematik“ 4. Schulstufe. Graz: Leykam
Hirt, Ueli; Wälti, Beat (2008): Lernumgebungen im Mathematikunterricht. Natürliche Differenzierung für Rechenschwache bis Hochbegabte. Seelze-Velber: Kallmeyer/Klett
Krauthausen, Günter; Scherer, Petra (2010): Umgang mit Heterogenität. Natürliche Differenzierung im Mathematikunterricht der Grundschule. URL: www.sinus-an-grundschulen.de/fileadmin/uploads/Material_aus_SGS/ Handreichung_Krauthausen-Scherer.pdf (Stand:12.3.2011)
Largo, Remo (2009): Kinderjahre. Die Individualität des Kindes als erzieherische Herausforderung. 17.Auflage. München: Piper.
Peschel, Falko (2004): Ganz normale Kinder! Differenzierung von oben oder Individualisierung von unten. In: Friedrich-Jahresheft (2004). XXII. S. 21ff
Peschel, Falko (2009): Offener Unterricht. Idee – Realität – Perspektive und ein praxiserprobtes Konzept zur Diskussion. 5. Auflage. Baltmannsweiler: Schneider (Basiswissen Grundschule).
Schipper, Wilhelm (2009): Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen. Braunschweig: Westermann/Schrödel.
Scherer, Petra; Moser Opitz, Elisabeth (2010): Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe. Heidelberg: Spektrum (Mathematik Primar- und Sekundarstufe).
Tillmann, Klaus-Jürgen (2004): System jagt Fiktion. Die homogene Lerngruppe. In: Friedrich-Jahresheft (2004). XXII. S. 6ff
Ulm, Volker (Hg.) (2008): Gute Aufgaben Mathematik – Heterogenität nutzen. Berlin: Scriptor.

(Myriam Burtscher, Barbara Herzog)